√5 ও √4 দুইটি বাস্তব সংখ্যা।
ক. কোনটি মূলদ ও কোনটি অমূলদ নির্দেশ কর।
খ. √5 ও 4 এদের মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।
গ. প্রমাণ কর যে, √5 একটি অমূলদ সংখ্যা।
সমাধান :
ক. √5 অমূলদ সংখ্যা। কারণ, 5 পূর্ণ বর্গসংখ্যা নয়।
4 মূলদ সংখ্যা। কারণ 4 = 4÷1 আকারে প্রকাশ করা যায় এবং এটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা।
খ. এখানে, √5 = 2.2360679.........
মনে করি, a = 3.020022000222....
এবং ন = 3.505500555........
স্পষ্টত: a ও b উভয়ই বাস্তব সংখ্যা এবং উভয়ই 5 অপেক্ষা বড় এবং 4 অপেক্ষা ছোট।
অর্থাৎ, √5 < 3.020022000222......... < 4
এবং √5 < 3.505500555............... < 4
আবার, a ও b কে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।
∴ a ও b দুইটি নির্ণেয় অমূলদ সংখ্যা।
গ. প্রমাণ করতে হবে যে, √5 একটি অমূলদ সংখ্যা।
প্রমাণ : 2² = 4; 3² = 9 এবং (5)² = 5
সুতরাং √5, 2 অপেক্ষা বড় কিন্তু 3 অপেক্ষা ছোট সংখ্যা।
অতএব, √5 পূর্ণসংখ্যা নয়।
মনে করি, √5 মূলদ সংখ্যা।
তাহলে ধরি, √5 = p÷q; যেখানে p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা, q ≠ 0 এবং p, q সহমৌলিক, q > 1.
বা, 5 = p²÷q² ; বর্গ করে
বা, 5q = p²÷q; উভয় পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে
এখানে 5q স্পষ্টত পূর্ণসংখ্যা কিন্তু p²÷q পূর্ণসংখ্যা নয়। কারণ p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1
সুতরাং 5q এবং p²÷q সমান হতে পারে না, অর্থাৎ 5q ≠ p²÷q
∴ √5 এর মান p÷q আকারের কোনো সংখ্যা হতে পারেনা,
অর্থাৎ, √5 ≠ p÷q
অতএব, √5 একটি অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)
