Home
Math

150 মিটার লম্বা সুতো দিয়ে একটি মাঠ থেকে ঘুড়ি ওড়ানো হয়েছে। ঘুড়িটি যদি অনুভূমিক রেখার সাথে 60∘ কোণ করে উড়তে থাকে, তাহলে ঘুড়িটি মাঠ থেকে কত উঁচুতে রয়েছে?

150 মিটার লম্বা সুতো দিয়ে একটি মাঠ থেকে ঘুড়ি ওড়ানো হয়েছে। ঘুড়িটি যদি অনুভূমিক রেখার সাথে 60∘ কোণ করে উড়তে থাকে, তাহলে ঘুড়িটি মাঠ থেকে কত উঁচুতে রয়েছে?
Please wait 0 seconds...
Scroll Down and click on Go to Link for destination
Congrats! Link is Generated

 


প্রশ্ন সমাধান: ভূ-রেখা কাকে বলে, ঊর্ধ্বরেখা কাকে বলে, উল্লম্বতল কাকে বলে, উন্নতি কোণ কাকে বলে,অবনতি কোণ কাকে বলে,∠CAD এর পরিমাণ নির্ণয় কর,AB ও BC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর,A ও D এর দূরত্ব নির্ণয় কর

1। 150 মিটার লম্বা সুতো দিয়ে একটি মাঠ থেকে ঘুড়ি ওড়ানো হয়েছে। ঘুড়িটি যদি অনুভূমিক রেখার সাথে 60∘ কোণ করে উড়তে থাকে, তাহলে ঘুড়িটি মাঠ থেকে কত উঁচুতে রয়েছে?

সমাধান- AC সুতোর দৈর্ঘ্য 150 মিটার
ভূমি (BC) এর সাথে ঘুড়িটির উন্নতি কোণ ∠ACB = 60∘
AB = মাঠ থেকে ঘুড়িটির উচ্চতা
△ABC থেকে পাই,
sinθ = লম্ব\ অতিভুজ
বা, sin60∘=ABAC
বা, 3√2=AB150
বা, AB=150×3√2
বা, AB=753–√
সুতরাং, ঘুড়িটি মাঠ থেকে 753–√ মিটার উঁচুতে রয়েছে।(উত্তর)

2। একটি চিমনির সঙ্গে একই সমতলে অবস্থিত অনুভূমিক সরলরেখায় কোনো এক বিন্দু থেকে চিমনির দিকে 50 মিটার এগিয়ে যাওয়ায় তার চূড়ার উন্নতি কোণ 30∘ থেকে 60∘ হল। চিমনির উচ্চতা কত?

সমাধান- ধরি, AB হল একটি চিমনি
C বিন্দুতে উন্নতি কোণ ∠ACB=30∘
D বিন্দুতে উন্নতি কোণ ∠ADB=60∘
CD = 50 মিটার
আবার, BC = BD + CD = BD + 50 ….(i)
তাহলে △ABD থেকে পাই,
tanθ = লম্ব\ ভূমি
বা, tan60∘=ABBD
বা, 3–√=ABBD
বা, AB=3–√BD ….(ii)
আবার △ABC থেকে পাই,
বা, tan30∘=ABBC
বা, 13√=3√BDBD+50 [(i) ও (ii) নং সমীকরণে থেকে পাই ]
বা, 3–√×3–√BD=BD+50
বা, 3BD−BD=50
বা, 2BD=50
বা, BD=25
(ii) নং সমীকরণে $BD$ এর মান বসিয়ে পাই,
AB=3–√BD=253–√
সুতরাং, চিমনির উচ্চতা 253–√ মিটার। (উত্তর)

3। উড়োজাহাজের একজন যাত্রী কোন একসময় তার এক পাশে হাওড়া স্টেশনটি এবং তার বিপরীত পাশে শহিদ মিনারটি যথাক্রমে 60∘ ও 30∘ অবনতি কোণে দেখতে পান। ওই সময়ে উড়োজাহাজটি যদি 5453–√ মিটার উঁচুতে থাকে, তাহলে হাওড়া স্টেশন ও শহিদ মিনারের দূরত্ব কত?

সমাধান- ধরি, A, B ও C বিন্দু তিনটি যথাক্রমে উড়োজাহাজ, শহিদ মিনার ও হাওড়া স্টেশন কে চিহ্নিত করছে।
AD হল উড়োজাহাজের উচ্চতা AD=5453–√ মিটার
অবনতি কোণ ∠EAB = 60∘ এবং ∠FAC=30∘
ধরি, BC ∥ EF
সুতরাং, ∠EAB=∠ABD=60∘ [ একান্তর কোণ ]
এবং ∠FAC=∠ACD=30∘ [ একান্তর কোণ ]
তাহলে △ABD থেকে পাই,
tanθ = লম্ব\ভূমি
বা, tan60∘=ADBD
বা, 3–√=5453√BD
বা, BD=5453√3√
বা, BD=545
আবার △ADC থেকে পাই,
tanθ = লম্ব\ ভূমি
বা, tan30∘=ADDC
বা, 13√=5453√DC
বা, DC=5453–√×3–√
বা, DC=545×3
বা, DC=1635
BC=BD+DC=545+1635=2180
সুতরাং, হাওড়া স্টেশন ও শহিদ মিনারের দূরত্ব 2180 মিটার। (উত্তর)

4। মাঠের মাঝখানে দাঁড়িয়ে মোহিত একটি উড়ন্ত পাখিকে প্রথমে উত্তরদিকে 30∘ উন্নতি কোণে এবং 2 মিনিট পরে দক্ষিণ দিকে 60∘ উন্নতি কোণে দেখতে পেল। পাখিটি যদি একই সরল রেখা বরাবর 503–√ মিটার উঁচুতে উরে থাকে, তবে তার গতিবেগ কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টায় কত?

সমাধান- ধরি, মোহিত A বিন্দুতে দাঁড়িয়ে উড়ন্ত পাখিটিকে প্রথমে উত্তর দিকে দেখল B বিন্দুতে এবং 2 মিনিট পর দক্ষিণ দিকে দেখল C বিন্দুতে।
পাখিটি AD=503–√ মিটার উচ্চতায় রয়েছে।
উত্তরের উন্নতি কোণ ∠BAP = 30∘
দক্ষিণের উন্নতি কোণ ∠CAQ = 60∘
∠ABD = ∠BAP = 30∘ [একান্তর কোণ ]
আবার, ∠ACD = ∠CAQ = 60∘ [একান্তর কোণ ]
△ABD থেকে পাই,
tanθ = লম্ব\ ভূমি
বা, tan30∘=ADBD
বা, 13√=503√BD
বা, BD=503–√×3–√
বা, BD=50×3
বা, BD=150
আবার, △ACD থেকে পাই,
tan60∘=ADCD
বা, 3–√=503√CD
বা, CD=503√3√
বা, CD=50
সুতরাং, BC=BD+CD=(150+50)=200
অর্থাৎ পাখিটি 2 মিনিটে যায় 200 মিটার
পাখিটি 1 মিনিটে যায় 2002 মিটার
পাখিটি 60 মিনিটে যায় 200×602=6000 মিটার
সুতরাং, পাখিটির গতিবেগ 6 কিমি/ঘণ্টা। (উত্তর)

আরো ও সাজেশন:-

◈ ভূ-রেখা, ঊর্ধ্বরেখা এবং উল্লম্বতল :

 ভূ-রেখা হচ্ছে ভূমি তলে অবস্থিত যেকোনো সরলরেখা। ঊর্ধ্বরেখা হচ্ছে ভূমি তলের উপর লম্ব যেকোনো সরলরেখা। একে উল্লম্ব রেখাও বলে।

 ভূমি তলের উপর লম্বভাবে অবস্থিত পরস্পরচ্ছেদী ভূ-রেখা ও ঊর্ধ্বরেখা একটি তল নির্দিষ্ট করে। এ তলকে উল্লম্ব তল বলে। 

 চিত্রে :  CB রেখা হচ্ছে ভূ-রেখা, BA রেখা হচ্ছে ঊর্ধ্বরেখা এবং ABC তলটি ভূমির উপর লম্ব যা উল্লম্ব তল।  

◈ উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ :

 ভূতলের উপরের কোনো বিন্দু ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে উন্নতি কোণ বলা হয়। O বিন্দুতে P বিন্দুর উন্নতি কোণ হচ্ছে ∠POB। ভূতলের সমান্তরাল রেখার নিচের কোনো বিন্দু ভূ-রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে অবনতি কোণ বলা হয়। O বিন্দুতে Q বিন্দুর অবনতি কোণ হচ্ছে ∠QOA।

অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্নঃ 1 : ক. ∠CAD এর পরিমাণ নির্ণয় কর। 

 খ. AB ও BC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। 

 গ. A ও D এর দূরত্ব নির্ণয় কর। 

সমাধান : 

ক. চিত্র হতে পাই, ∠ACB = 60° 

    ∠BCD = সরলকোণ = 180° 

  ∴ ∠ACD = 180° - ∠ACB = 180° - 60° = 120° 

△ACD হতে পাই, ∠ACD + ∠ADC + ∠CAD = 180° 

বা, 120° + 30° + ∠CAD = 180°

বা, ∠CAD = 180° - 150°

∴ ∠CAD = 30°

[ বি:দ্র: নমুনা উত্তর দাতা: রাকিব হোসেন সজল ©সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত (বাংলা নিউজ এক্সপ্রেস)]

খ. △ABC এ, sin60° = লম্ব/অতিভুজ

বা, √3/2 = AB/AC = AB/20

বা, 2AB = 20√3

বা, AB = 20√3/2

∴ AB = 10√3 মিটার

= 17.320 মিটার (প্রায়)

আবার, tan60° = লম্ব/ভূমি

 বা, √3 = AB/BC = 10√3/BC

 বা, √3BC = 10√3

 বা, BC = 10√3/√3 

 ∴ BC = 10 মিটার

নির্ণেয় AB 17.320 মিটার (প্রায়) এবং BC 10 মিটার। 

গ. মনে করি, A ও D এর দূরত্ব x মিটার অর্থাৎ, AD = x মিটার

চিত্র হতে পাই, 

△ABD এ, sin³0° = লম্ব/অতিভুজ

 বা, ½ = AB/AD

 বা, ½ = 103/x

 ∴ x = 20/3

 = 34.64 (প্রায়)

∴ A ও D এর দূরত্ব 34.64 মিটার (প্রায়)।

 

রচনা ,প্রবন্ধউত্তর লিংকভাবসম্প্রসারণউত্তর লিংক
আবেদন পত্র ও Applicationউত্তর লিংকঅনুচ্ছেদ রচনাউত্তর লিংক
চিঠি ও Letterউত্তর লিংকপ্রতিবেদনউত্তর লিংক
ইমেল ও Emailউত্তর লিংকসারাংশ ও সারমর্মউত্তর লিংক

Paragraphউত্তর লিংকCompositionউত্তর লিংক
CVউত্তর লিংকSeen, Unseenউত্তর লিংক
Essayউত্তর লিংকCompleting Storyউত্তর লিংক
Dialog/সংলাপউত্তর লিংকShort Stories/Poems/খুদেগল্পউত্তর লিংক
অনুবাদউত্তর লিংকSentence Writingউত্তর লিংক


নৈবিত্তিক

  • পাটিগণিত থেকে নিয়োগ পরীক্ষায় আসা প্রশ্ন সমাধান লিংক

  • পাটিগণিত পাঠ-2 নিয়োগ পরীক্ষায় আসা প্রশ্ন সমাধান লিংক

  • বীজগণিত থেকে নিয়োগ পরীক্ষায় আসা প্রশ্ন সমাধান লিংক

  • বীজগাণিতিক সূত্রাবলী থেকে নিয়োগ পরীক্ষায় আসা প্রশ্ন সমাধান লিংক

  • জ্যামিতি থেকে নিয়োগ পরীক্ষায় আসা প্রশ্ন সমাধান লিংক

  • জ্যামিতি বিষয় সকল নোট এক সাথে লিংক

  • জ্যামিতির বিভিন্ন সংজ্ঞা ও ধারণা এক সাথে লিংক

  • গাণিতিক পরিমাপের একক থেকে নিয়োগ পরিক্ষায় আসা প্রশ্ন সমাধান লিংক

  • লাভ ক্ষতির অংক হিসেবে কাজ করবে লাভ ক্ষতির অংক pdf লিংক

  • উচ্চতর গণিত pdf লিংক
  • জোড় ও বিজোড় সংখ্যা থেকে নিয়োগ পরীক্ষায় আসা প্রশ্ন সমাধান লিংক

অংক/ লিখিত পাঠ

 

  • গণিতের ৩০ টি শর্টকাট টেকনিক লিংক

  • সূচক ও লগারিদম অংক করার সহজ নিয়ম PDF লিংক

  • গণিত এ সাম্প্রতিক প্রশ্নগুচ্ছ PDF লিংক

  • ঘড়ি সম্পর্কিত অংক করার সহজ নিয়ম PDF লিংক

  • সমন্বিত সকল ব্যাংক নিয়োগ পরিক্ষার গণিত সমাধান PDF ২০২১-২০২২ লিংক

  • Shahin's Shortcut & Board Math Review ( Full Book ) PDF Download লিংক

  • FBS, MIS, Arts, AUST এবং IBA Faculty এর নেওয়া ২২৩ সেট গণিত সমাধান ( MCQ + Written) ব্যাখ্যাসহ PDF লিংক

  • Important Math Suggestions for Any Job Examination লিংক

  • স্পেশাল গণিত MCQ থেকে নিয়োগ পরীক্ষায় আসা প্রশ্ন সমাধান লিংক

  • লগারিদম অংক Logarithm Math থেকে নিয়োগ পরীক্ষায় আসা প্রশ্ন সমাধান লিংক

  • সমাবেশের অংক থেকে নিয়োগ পরীক্ষায় আসা প্রশ্ন সমাধান লিংক

প্রশ্ন বিশ্লেষণ

  • ত্রিকোণমিতি -উত্তর: লিংক
  • সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর নামকরণ -উত্তর: লিংক
  • সূক্ষকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত -উত্তর: লিংক
  • সূক্ষকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের চিত্রগত ব্যাখ্যা -উত্তর: লিংক
  • ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি পিথাগোরাসের প্রতিজ্ঞা ব্যবহার করে যে সম্পর্ক পাওয়া যায় তা হলো -উত্তর: লিংক

অংক বিশ্লেষণ

সূজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

১. √5 ও √4 দুইটি বাস্তব সংখ্যা।
ক. কোনটি মূলদ ও কোনটি অমূলদ নির্দেশ কর।
খ. √5 ও 4 এদের মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।
গ. প্রমাণ কর যে, √5 একটি অমূলদ সংখ্যা।

-উত্তর: লিংক

২. 100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় 65% শিক্ষার্থী বাংলায়, 48% শিক্ষার্থী বাংলা ও ইংরেজি উভয় বিষয়ে পাস এবং 15% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে।

ক. সংক্ষিপ্ত বিবরণসহ ওপরের তথ্যগুলো ভেনচিত্রে প্রকাশ কর।

খ. শুধু বাংলায় ও ইংরেজিতে পাস করেছে তাদের সংখ্যা নির্ণয় কর।

গ. উভয় বিষয়ে পাস এবং উভয় বিষয়ে ফেল সংখ্যাদ্বয়ের মৌলিক গুণনীয়কসমূহের সেট দুইটির সংযোগ সেট নির্ণয় কর।

-উত্তর: লিংক

৩. U = {x : x ∈ ℤ এবং x² < 10}

 A = {x : x, 12 এর প্রকৃত গুণনীয়ক}

 B = {x ∈ : x² - 3x + 2 = 0}

 C = {0, 1, 2, 3}.

ক. U কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর। 2

খ. (A ∪ B)' = A'∩ B' এর সত্যতা যাচাই কর। 4

গ. P(C) নির্ণয় করে দেখাও যে P(C) এর উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে। 4

-উত্তর: লিংক

৪. বিভিন্ন বস্তু স্থানের যে অংশ জুড়ে থাকে সে স্থানটুকুর আকার, আকৃতি, অবস্থান, বৈশিষ্ট্য প্রভৃতি থেকেই জ্যামিতিক ধ্যান-ধারণার উদ্ভব।

 ক. ঘনবস্তু কী? 2

খ. ঘনবস্তু থেকে কীভাবে তলের ধারণায় আসা যায় বর্ণনা কর। 4

গ. তল থেকে কীভাবে রেখার ধারণায় আসা যায় তা বর্ণনা কর। 4

-উত্তর: লিংক

৫. যেকোনো গাণিতিক আলোচনায় এক বা একাধিক প্রাথমিক ধারণা স্বীকার করে নিতে হয়। বর্তমান সময়ে জ্যামিতিতে কিছু ধারণা স্বীকার করে নেয়া হয়েছে।

 ক. জ্যামিতিক স্বীকার্য কী?

খ. দূরত্ব স্বীকার্যের বর্ণনা দাও।

গ. রেখাংশের মাধ্যমে দূরত্ব স্বীকার্যকে কি ব্যাখ্যা করা সম্ভব? যদি সম্ভব হয় ব্যাখ্যা দাও।

-উত্তর: লিংক

৬. জ্যামিতি গণিত শাস্ত্রের একটি প্রাচীন শাখা। শুধু ভূমি পরিমাপই নয় বরং বহু জটিল গাণিতিক সমস্যা সমাধানে এই জ্ঞান এখন অপরিহার্য।

 ক. আধুনিক জ্যামিতির ভিত্তি কী? 2

খ. বিন্দু, রেখা ও তল সম্পর্কে ইউক্লিডের ধারণা লেখ। 4

গ. বিন্দু, রেখা ও তল সম্পর্কিত ইউক্লিডের স্বতঃসিদ্ধগুলো লেখ। 4

-উত্তর: লিংক


Click and Go to Link
#Math

Post a Comment

Cookie Consent
We serve cookies on this site to analyze traffic, remember your preferences, and optimize your experience.
More Details
Oops!
It seems there is something wrong with your internet connection. Please connect to the internet and start browsing again.
AdBlock Detected!
We have detected that you are using adblocking plugin in your browser.
The revenue we earn by the advertisements is used to manage this website, we request you to whitelist our website in your adblocking plugin.
Site is Blocked
Sorry! This site is not available in your country.